Уравнения высших порядков, интегрируемые в квадратурах или допускающие понижения порядка.
Пусть 
Опр. 
(1) называется ОДУ n-го порядка, не разрешенного относительно старшей производной.
Допустим в некоторой области оно приводится к виду 
, где f определена в 
, то
Опр. (2) называется ОДУ 1-го порядка, разрешенном относительно старшей производной
Опр. Частным решением уравнения (1) или (2) называется функция 
1) 
2) 
на 
Совокупность всевозможных частных решений образует общее решение.
ЗК для (2) ставится следующим образом:
Нужно отыскать решения уравнения (2), удовлетворяющие дополнительному условию (называется начальными условиями)
…
Т.е. 
Теор. (ТСЕ решения ЗК (3) )
Если в некоторой области 
,а точка 
является внутренней точкой области D , то 
решение ЗК 
В области существования и единственности решения общее решение уравнения (2) зависит от n произвольных постоянных т.е. 
называется общим решением уравнения (2) если всякое частное решение (2) получено при некотором значении 
, а при любом наборе значений 
представляет собой решение (2). Если это решение задано в неявном виде 
, то говорят об общем интеграле уравнения (2).
Соотношение вида 
являющееся следствием уравнения (2), называется частным интегралом этого уравнения. Например, соотношение 
или 
, является следствием уравнения (2), называется первым интегралом. Т.е. функция 
const, но сохраняет постоянное значение на любом решении уравнения (2)
Вопрос 11
А) Простейшее уравнение n -го порядка
, где 
. Проинтегрировав это уравнение по x 
Далее 
Через некоторое количество шагов
Док-во: Докажем (11) методом математической индукции.
БАЗА. 
(верно)
ШАГ. Пусть утверждение верно для 
, т.е. 
.
Тогда 
, т.е. формула верна и для 
утверждение верно.
Таким образом, простейшее уравнение n-го порядка всегда интегрируемо в квадратурах имеет вид (11) #
Теперь докажем, что 
Док-во: Применим метод ММИ. БАЗА 
, т.е. 
верно . ШАГ Пусть утверждение верно для , то есть выполнено 
. Тогда 
верно, то есть формула верна и для утверждение верно 
#
Таким образом, простейшее уравнение n-го порядка всегда интегрируется в квадратурах, и его решение имеет вид 
Б) Уравнения, допускающие понижения порядка
а) 
, то подстановкой 
уравнение понижается на к единиц 
. Допустим, что решение 
. Тогда полученный промежуточный интеграл 
б) 
x не входит в уравнение в явном виде. Порядок уравнения можно понизить на единицу заменой переменных 
, где 
. Если 
, то 
. Вообще 
уравнение принимает вид 
решаем уравнение и получаем 
.
Далее решаем 
В) 
однородное, то аргумент 
,
т.е. 
.
В этом порядок уравнения можно понизить на 1 заменой 
.
В этом случае 
Докажем методом ММИ 
БАЗА для 
верно(см.выше)
ШАГ индукции. Допустим, что утверждение верно для 
, докажем что оно также верно для 
верно , то есть утверждение справедливо 
уравнение (n-1) порядка
Г) Допустим, что 
, тогда уравнение 
имеет первый интеграл 
. Порядок снижается на 1.
Вопрос 12 .