Аксиоматическое построение системы натуральных чисел

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 23

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

ТЕМА 1

АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Цель: Проверить знание понятий данной темы (аксиоматическое определение системы натуральных чисел, число как элемент натурального ряда), отношения «меньше», четырех арифметических действий, отрезка натурального ряда, конечного множества, числа элементов множества, счета, применять знания и умения для решения практических задач.

Задания к тестам: выделить желтым цветом правильные ответы; дать обоснование правильных ответов. В обосновании сформулировать в теоретических заданиях определение, теорему, указать номер теоремы, пункт и стр. учебника, в практических решение, используя метод. рекоменд. К контрольной работе. Обоснование дать к каждому тестовому заданию.

Ф.И.О. Нечаевой Анастасии

Группа: РНО-11

1 Утверждения, которые принимаются без доказательства,
называются:

a) определениями

b) теоремами

c) аксиомами

d) примерами

e) высказываниями

Обоснование: аксиомы – предложения, которые принимаются без доказательств; в них раскрываются свойства основных понятий. П. 14, п.59 «Об аксиоматическом способе построения теории», стр. 232

2 Требования, предъявляемые к системе аксиом:

a) полнота, монотонность, независимость

b) непротиворечивость, независимость, полнота

c) независимость, непротиворечивость, монотонность

d) монотонность, полнота, непротиворечивость

e) полнота, монотонность, противоречивость

Обоснование: К системе аксиом предъявляются следующие требования: непротиворечивость ( из нее нельзя логически вывести 2 взаимно исключающих друг друга предложения). Если система аксиом не обладает этим свойством, то она не может быть пригодной для обоснования научной теории., независимость ( никакая из аксиом этом системы не является следствием других аксиом этой системы). . П. 14, п.59 «Об аксиоматическом способе построения теории», стр. 232

3 При аксиоматическом построении системы натуральных чисел элемент, непосредственно следующий за элементом а обозначают:

a) – а

e) -

Обоснование: Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а , непосредственно следующий за а. П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

4 Система аксиом Пеано содержит:

a) 2 аксиомы

b) 5 аксиом

c) 3 аксиомы

d) 4 аксиомы

e) 6 аксиом

Обоснование: Аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В множестве N существует элемент , непостредственно не следующий ни за каким элементом этого множества.Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а , непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента , за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами : 1)1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а содержится в М. П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

5 Элементы множества N , для которых установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющие четырем аксиомам Пеано, называются:

a) четными числами

b) нечетными числами

c) положительными числами

d) натуральными числами

e) другой ответ

Обоснование: Согласно определению натурального числа «Множество N , для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за» , удовлетворяющее аксиомам 1-4 , называется множеством натуральных чисел, а его элементы-натуральными числами» П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

6 Термин «натуральное число» впервые употребил:

a) Евклид

b) Архимед

c) Пифагор

d) Фалес

e) Боэций

Обоснование: Термин « натуральное число» впервые употребил в 5 в. Римский ученый А. Боэций, который известен как переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык и как автор книги «О введении в арифметику» П.13 « Из истории возникновения понятия натурального числа»

7 Науку, в которой изучаются натуральные числа и действия над ними, называют:

a) алгебра

b) арифметика

c) математика

d) геометрия

e) натурология

Обоснование: Арифметика(гр.arithmos « число»)- теоретическая наука, изучающая числа и действия над ними, возникшая в странах Древнего Востока. П.13 « Из истории возникновения понятия натурального числа» стр. 231

8 Для счета предметов достаточно множества:

a) целых чисел

b) рациональных чисел

c) иррациональных чисел

d) действительных чисел

e) натуральных чисел

Обоснование: Натуральные числа получаются при счете предметов. Чтобы вести счет, нужна последовательность числительных , которая начинается с единицы и которая позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому и столько раз, сколько это необходимо . Иначе говоря , нужен отрезок натурального ряда. П14, «Аксиоматическое построение системы натуральных чисел» стр, 231

9 Ассоциативный закон сложения натуральных чисел выглядит так:

Обоснование: Теорема 4, П14, п. 61, стр.240

10 Действие, с помощью которого находят разность натуральных чисел, называют:

a) уменьшение

b) сложение

c) вычитание

d) деление

e) уменьшаемое

Обоснование: Согласно определению Вычитанием натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию : a- b =c тогда и только тогда, когда b + c = a , где число a - b - называется разность чисел a и b , число a – уменьшаемое , а число b - вычитаемое. П14, п 64 «Вычитание» стр. 249

11 Числа при умножении называются:

a) слагаемые

b) множители

c) делители

d) делимые

e) уменьшаемые

Обоснование: Согласно определению Умножение натуральных чисел - алгебраическая операция, где число a*b называется произведением чисел a и b , а сами числа a и b – множителями.

П14, п. 64 «Умножение», стр.243

12 Действие, при помощи которого находят частное натуральных чисел называют:

a) умножением

b) сложением

c) вычитанием

d) делением

e) разностью

Обоснование: Согласно определению Делением натуральных чисел и называется операция, удовлетворяющая условию a:b=c тогда и только тогда, когда b*c=a , где число a:b называется частным чисел a и b, число a – делимое, число b – делитель. П14,п65 « Деление» стр. 251ʋ

13 Если к множеству натуральных чисел добавить нуль, то получится новое множество, которое называют множеством :

a) целых отрицательных чисел

b) целых положительных чисел

c) множеством положительных чисел

d) целых неотрицательных чисел

e) другой вариант ответа

Обоснование: Если присоединить к множеству N натуральных чисел еще один элемент, который называется нулем и обозначается 0, то получим новое множество целых неотрицательных чисел, обозначаемое Z o . Таким образом, Zo=N U{0}. П14, п. 66 «Множество целых неотрицательных чисел», стр.254

14 Для того чтобы вычесть сумму из числа, достаточно вычесть из этого числа каждое слагаемое последовательно одно за другим. Это правило:

a) деления разности на число

b) деления суммы на число

c) вычитания числа из суммы

d) вычитания разности из числа

e) вычитания суммы из числа

Обоснование: Это правило сформулировано на основе теоремы 22. Она звучит так: Пусть a, b и c – натуральные числа. Если a > b+c , то a-(b + c) = (a-b)-c или a-(b + c) =(a-c)-b. П.14, п.64 «Вычитание» стр. 250

15 Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо:

a) из большего числа вычесть меньшее

b) к большему числу прибавить меньшее

c) большее число разделить на меньшее

d) меньшее число умножить на какое-нибудь натуральное число

e) большее число умножить на меньшее

Обоснование:

16 Запишите, используя символику, правый дистрибутивный закон умножения относительно сложения для натуральных чисел:

Обоснование:Умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения. Правый дистрибутивный закон умножения относительно сложения выглядит следующим образом:( .

Числа а и в натуральные произвольные числа, а с принимает различные натуральные значения. Теорема 8, п.62, стр. 244

1 При делении целых неотрицательных чисел на число 7 могут получиться остатки:

f) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

g) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

h) 1, 2, 3

i) 1, 3, 5, 7

j) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Обоснование:

17 Как изменится сумма двух натуральных чисел, если каждое из двух слагаемых увеличить в 2 раза

a) Увеличится в 4 раза

b) Увеличится на 2 раза

c) Увеличится на 4 раза

d) Увеличится в 2 раза

e) Другой ответ

Обоснование: а,в- натуральные, произвольные числа. Их сумма а+в= с. Если увеличит каждое слагаемое в 2 раза, то получится 2а+2в= 2(а+в)=2с следовательно, сумма увеличится в 2 раза.

18 Число а при делении на 8 дает в остатке 3 и поэтому имеет вид:

Обоснование: Согласно определению « Пусть а – целое неотрицательное число, а b – число натуральное. Разделить а на b с остатком – это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r , что a=bq+r , причем 0≤r˂b», а- целое неотрицательное число, b=8, r=3,следовательно, a=8g+3, g Zo. П.14, п. 66, стр 255.

19 Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел a и b , необходимо, чтобы

e) другой ответ

Обоснование: Согласно теореме 23 «Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел a и b ,необходимо, чтобы b≤a»

Доказательство: Пусть частное натуральных чисел a и b существует , т.е есть такое натуральное число с, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1≤с , то, умножив обе его части на натуральное число b , получим b≤bc. Но bc ,следовательно ,b≤ a. П.14, п.65, стр. 252

20 Множество N при помощи отношения «иметь один и тот же остаток при делении на 6» разбивается на

a) 5 классов

b) 2 класса

c) 6 классов

d) 3 класса

e) другой ответ

Обоснование: Если любое натуральное число разделить на 6, то остатки могут получиться только следующие 0,1,,2,3,4,5, следовательно 5 классов.

21 Свойство транзитивности отношения «меньше» на множестве натуральных чисел записывается так:

a) Для любых натуральных чисел a,b,c, если a<b и b<c, то a<c

b) Для любых натуральных чисел a,b, если a<b, то неверно, что в<а

c) Для любых натуральных чисел a, неверно, что a<a

d) Для любых натуральных чисел a,b, a<b или b<a

e) Для любых натуральных чисел a,b, если a<b, то b<a

Обоснование: Теорема 13 « Если a˂b и b˂c, то a˂c» выражает свойство транзитивности отношения « меньше». Т.к a˂b и b˂c, то, по определению отношения « меньше», найдутся такие натуральные числа k и l, что b=a+k и c=b+l. Но тогда с=(a+k)+l и на основании свойства ассоциативности сложения получаем: c= a+(k+l). Поскольку k+ l – натуральное число , то, согласно определению « меньше», a˂c.

П.14, п.63., стр. 246.

22 Если при делении с остатком числа а на 15 получили неполное частное 10, то наибольшее возможное значение делимого:

a) 150 d) 165

b) 160 e)151

c) 164

Обоснование:

23 Законы сложения натуральных чисел в аксиоматической теории доказываются:

a) методом от противного

b) методом полной индукции

c) с использованием дедуктивного вывода

d) методом математической индукции

e) другой ответ

Обоснование:

24 Если А(1) и (А(k) => А(k+1)) – истинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение А (n) истинно для любого натурального числа n. Так формулируется:

a) дедуктивный вывод

b) метод математической индукции

c) метод полной индукции

d) закон контрапозиции

e) другой ответ

Обоснование: Теорема30. Если утверждение А(n) с натуральной переменной n истинно для n = 1 и из того, что оно истинно для n = k, следует, что оно истинно и для следующего числа n=k, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

Доказательство. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(n) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: 1) 1М; 2) k M kM. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что М = N, т.е. утверждение А(n) истинно для любого натурального n.

Метод доказательства, основанный на этой теореме, называется методом математической индукции, а аксиома – аксиомой индукции. Такое доказательство состоит из двух частей:

1) доказывают, что утверждение А(n) истинно для n = 1, т.е. что истинно высказывание А(1);

2) предполагают, что утверждение А(n) истинно для n = k, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение A(n) истинно и для n = k + 1, т.е. что истинно высказывание A(k) A(k + 1).

Если А(1) А(k) A(k + 1) – истинное высказывание, то делают вывод о том, что утверждение A(n) истинно для любого натурального числа n.

25 Если делимое и делитель умножить на n, то частное:

a) увеличится в n раз

b) не изменится

c) уменьшится в n раз

d) увеличится на n

e) уменьшится на n

Обоснование: Пусть х-делимое, у- делитель, х:у – частное, тогда нх:ну=х:у=х:у, следовательно, частное не изменится.

26 Метод математической индукции состоит:

a) из четырех частей

b) из одной части

c) из пяти частей

d) из двух частей

e) из n частей

Обоснование: Метод математической индукции состоит из 2 частей: 1)доказывают, что утверждение А(n) истинно для n=1, т.е что истинно высказывание(1); 2) предполагают, что утверждение А(n) истинно для n=k ,и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(n) истинно и для n=k+1 , т.е что истинно высказывание А(k) А(k+1).П14, п.67, стр.257.

27 Деление является алгебраической операцией на множестве:

a) натуральных чисел

b) целых неотрицательных чисел

c) целых чисел

d) иррациональных чисел

e) рациональных чисел

Обоснование: Деление Является частичной алгебраической операцией на множистве натуральных чисел. ,п.51, стр 205

28 Множество натуральных чисел – упорядоченное множество, так как отношение «меньше» для натуральных чисел:

a) транзитивно и симметрично

b) является отношением эквивалентности

c) рефлексивно и симметрично

d) рефлексивно и транзитивно

e) транзитивно и антисимметрично

29 Разность натуральных чисел а-b существует только тогда, когда

a) c) e) другой ответ

b) d)

Обоснование: Разность натуральных чисел а-b существует только тогда, когда b˂ a. Теорема19. П14, п.64, стр.249.

30 Одним из основных (неопределяемых) понятий математики является:

a) теорема

b) квадрат

c) умозаключение

d) индукция

e) множество

Обоснование: Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. П1, п.1, стр.7

31 При делении на 7 чисел a и b получаются остатки 2 и 5. тогда произведение ab при делении на 7 дает остаток:

a) 10 c) 2 e) 7

b) 3 d) 5

Обоснование:

32 Не выполняя вычислений выясните значения каких выражений будут равны

a) (50+16)-14 и 50+(16-14)

b) (50+16)-14 и 50-(16-14)

c) (50+16)-14 и (50-16)+14

d) (50+16)-14 и (50-14)-16

e) (50+16)-14 и 50-(16+14)

Обоснование: Использовано свойство ассоциативности сложения, которое выглядит следующим образом: .

Теорема 4 п.64, стр 240

33 Если из системы аксиом нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения, то она называется:

a) полной

b) независимой

c) непротиворечивой

d) противоречивой

e) зависимой

Обоснование: К системе аксиом предъявляются следующие требования: непротиворечивость ( из нее нельзя логически вывести 2 взаимно исключающих друг друга предложения). Если система аксиом не обладает этим свойством, то она не может быть пригодной для обоснования научной теории. П. 14, п.59 «Об аксиоматическом способе построения теории», стр. 232

34 Отрезком N_a натурального ряда называется

a) множество натуральных чисел, в котором а элементов

b) конечное множество А, где

c) множество последовательных натуральных чисел, в котором а элементов

d) множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а

e) другой ответ

Обоснование: Согласно определению «Отрезком N_a натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а» п.68, стр.259.

35 Если с и d- натуральные числа, то

a) c) e)

b) d)

Обоснование: согласно второму свойству умножения Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве натуральных чисел и обладающая двумя свойствами: 1) ( П.14, п.63, стр. 243.

36 Множества А и В называют равномощными, если

b) Если каждому элементу множества А соответствует элемент множества В

c) Если они равночисленны

d) Между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие

e) Другой ответ

Обоснование: Согласно определению « Множества А и В называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие» , пункт 42, стр. 172.

37 Числа возникли из потребности:

a) счета

b) измерения

c) количественной характеристики элементов конечного множества

d) измерения положительных скалярных величин

e) счета и измерения

Обоснование: параграф 13, стр. 229 «Из истории возникновения понятия натурального числа»

38 Отношение «непосредственно следовать за», заданное на множестве натуральных чисел, обладает свойством

a) Транзитивности

b) Рефлексивности

c) Антисимметричности

d) Связанности

e) Симметричности

Обоснование:

39 Множество целых неотрицательных чисел упорядочивает отношение

a) «непосредственно следовать за»

b) «меньше»

c) «равно»

d) «непосредственно предшествовать»

e) «больше на 2»

Обоснование:

40 Если делимое увеличить в 48 раз, а делитель в 6 раз, то частное

a) увеличится на 42 раза

b) уменьшится в 8 раз

c) уменьшится на 42

d) увеличится в 8 раз

e) увеличится на 8

Обоснование: Пусть х - делимое, у - делитель, х:у- частное, тогда 48х:6у=х:у=8, следовательно, увеличится в 8 раз.

41 Если уменьшаемое уменьшить на 3, а вычитаемое увеличить на 3, то разность

a) не изменится

b) уменьшится на 6

c) увеличится на 6

d) уменьшится на 3

e) увеличится на 3

Обоснование: Пусть х-уменьшаемое, у-вычитаемое, х-у- разность, тогда х-3-у+3=х-у, следовательно, разность не изменится.

42 Какой цифрой заканчивается сумма

a) 9 c) 8 e) 7

b) 0 d) 4

Обоснование:

43 Какой цифрой заканчивается разность

a) 4 c) 9 e)3

b) 5 d) 6

Обоснование:

44 Если каждый из двух множителей увеличить в 3 раза, то произведение

a) увеличится в 3 раза

b) не изменится

c) увеличится в 9 раз

d) увеличится на 9

e) увеличится на 3

Обоснование: Пусть х- 1 множитель, у- 2 множмтель, ху- произведение, тогда 3х3у=ху, следовательно, произведение увеличится в 9 раз.

45 Если уменьшаемое увеличить в 4 раза и вычитаемое увеличить в 4 раза, то разность

a) Увеличится в 8 раз

b) Увеличится в 4 раза

c) Не изменится

d) Увеличится в 16 раз

e) Увеличится на 8

Обоснование: Пусть х- уменьшаемое, у-вычитаемое, х-у –разность, тогда 4х-4у=х-у, следовательно, увеличится в 4 раза.

46 Если число а при делении на 5 дает в остатке 1, то число а² при делении на 5 дает в остатке

a) 0 c) 3 e) 1

b) 2 d) 4

Обоснование

47 В аксиоматической теории свойство антисимметричности отношения «меньше» доказывается

a) Методом от противного

b) С помощью дедуктивного вывода

c) Методом математической индукции

d) Методом полной индукции

e) На основе закона контрапозиции

Обоснование:

48 В аксиоматической теории свойство транзитивности отношения «меньше» доказывается

a) С помощью дедуктивного вывода

b) Методом математической индукции

c) Методом от противного

d) Методом полной индукции

e) На основе закона контрапозиции

Обоснование:

49 При доказательстве того, что деление на нуль невозможно рассматривается

a) Два случая d) Несколько частных случаев

b) Один случай e) Другой ответ

c) Три случая

Обоснование: 1случай а≠0, 2 случай а=0. Теорема 28, п.66, стр. 254

50 Как называется число bв равенстве a : b = c

a) Вычитаемое c) Делитель e) Разность

b) Делимое d) Частное

51 Как называется число а в равенстве

a) Уменьшаемое c) Вычитаемое e) Другой ответ

b) Делимое d) Разность

52 Какое свойство неявно используют младшие школьники при выполнении задания

a) Коммутативное свойство сложения

b) Свойство монотонности сложения

c) Свойство сократимости сложения

d) Ассоциативное свойство сложения

e) Другой ответ

Обоснование:

53 Первая аксиома Пеано формулируется так:

a) В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей

b) Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а´, непосредственно следующий за а.

c) Пусть множество М есть подмножество множества N и известно, что единица содержится в М; и из того, что а содержится в М, следует, что и а´ содержится в М. Тогда множество М совпадает с множеством N.

d) Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.

e) Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Обоснование: Аксиома 1. В множестве N существует элемент , непостредственно не следующий ни за каким элементом этого множества.Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

54 Четвертая аксиома Пеано формулируется так:

a) Пусть множество М есть подмножество множества N и известно, что: единица содержится в М; и из того, что а содержится в М, следует, что и а´ содержится в М. Тогда множество М совпадает с множеством N.

b) Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

c) Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.

d) В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

e) Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а´, непосредственно следующий за а.

Обоснование:

55 Используя определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории, найдите значение выражения 3*7

a) 3*7=3*(10-3)=3*10-3*3=30-9=21

b) 3*7=3+3+3+3+3+3+3=21

c) 3*7=7+7+7=21

d) 3*7=3*(5+2)=3*5+3*2=15+6=21

e) 3*7=3*6’=3*6+3=18+3=21

Обоснование: Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве натуральных чисел и обладающая двумя свойствами: 1) ( П.14, п.63, стр. 243.

56 Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется

a) Теоретико-множественной характеристикой множества А

b) Классом конечных равномощных множеств

c) Отношением порядка на множестве А

d) Счетом элементов множества А

e) Другой ответ

Обоснование: Согласно определению «Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А» П.14, п.68, стр. 260

57 В аксиоматической теории разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число c, удовлетворяющее условию:

a) в+с=а

c) а+с=в

e) другой ответ

Обоснование: Вычитанием натуральных чисел a и b называется операция, удовлетворяющая условию : a- b = c тогда и только тогда, когда b + c = a , где число a - b - называется разность чисел a и b , число a – уменьшаемое , а число b - вычитаемое. Согласно теореме 19 разность натуральных чисел a – b существует тогда и только тогда, когда b ˂ a. По определению разности найдется такое натуральное число с, что b + c = a . П14, п 64 «Вычитание» стр. 249

58 Запишите, используя символику, коммутативный закон сложения для натуральных чисел:

Обоснование: коммуникативный закон сложения натуральных чисел. П14, п.61, стр 241, теорема 5

59 Запишите, используя символику, ассоциативный закон умножения для натуральных чисел:

e) Для любых натуральных чисел a, b, c,

Обоснование: ассоциативный закон умножения для натуральных чисел. П.14, п.62. стр. 245, теорема 10

60 Не выполняя вычислений, определите значения каких выражений будут равны

Обоснование: Использован ассоциативный закон умножения для натуральных чисел. П.14, п.62. стр. 245, теорема 10

61 Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая двумя свойствами, второе свойство записывается так

a) Для любых натуральных чисел а и в

b) Для любых натуральных чисел а и в

c) Для любых натуральных чисел а и в

d) Для любых натуральных чисел а и в

e) другой ответ

Обоснование: Согласно определению «Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая двумя свойствами: 1) ( ., 2)( .

П14, п.61, стр.237.

62 При аксиоматическом построении системы натуральных чисел в качестве основного взято отношение:

a) «следовать за»

b) «непосредственно следовать за»

c) «непосредственно предшествовать»

d) «предшествовать»

e) другой ответ

Обоснование: В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение « непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. П60, стр 233.

63 Вторая аксиома Пеано формулируется так:

a) В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

b) Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

c) Пусть множество М есть подмножество множества N и известно, что единица содержится в М; и из того, что а содержится в М, следует, что и а’ содержится в М. Тогда множество М совпадает с множеством N

d) Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а’, непосредственно следующий за а.

e) Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости

Обоснование:

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент аˊ , непосредственно следующий за а.

П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

64 В аксиоматической теории отношение «меньше» определено следующим образом:

e) другой ответ.

Обоснование:

65 Отношение «меньше» на множестве натуральных чисел обладает свойствами:

a) Рефлексивность, симметричность и транзитивность;

b) Рефлексивность, антисимметричность и транзитивность;

c) Рефлексивность, антисимметричность и связанность;

d) Антисимметричность, транзитивность и связанность;

e) Симметричность, антисимметричность и транзитивность.

Обоснование: Согласно теореме 12, 13, 14 отношение « меньше» на множестве натуральных чисел обладает свойствами: связанности, транзитивности, антисимметричности . П.14, п.63, стр.246-247.

66 Умножением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве натуральных чисел и обладающая двумя свойствами, второе свойство записывается так

a) Для любых натуральных чисел а и в а·в'=ав+а

b) Для любых натуральных чисел а и в а·в'=(а·в)'

c) Для любых натуральных чисел а и в а·в'=ав+а

d) Для любых натуральных чисел а и в а·в'=(а·в)'

e) Для любых натуральных чисел а и в а·в'=ав+в

67 Назовите в порядке выполнения преобразований свойства сложения, которые используются при нахождении значения выражения 23+(19+7)=23+(7+19)=(23+7)+19=30+19=49

a) коммутативное свойство сложения и дистрибутивность слева относительно сложения

b) ассоциативное свойство сложения и коммутативное свойство сложения

c) дистрибутивность справа относительно сложения и ассоциативное свойство сложения

d) коммутативное свойство сложения и ассоциативное свойство сложения

e) дистрибутивность слева относительно сложения и коммутативное свойство сложения

Обоснование: Теорема 5 , 4 П.14. п61 , стр.240-241.

68 Отрезком натурального ряда N₄является множество:

a) {1,3,5,7} c) {1,2,3,4} e) {10,11,12,13}

b) {2,3,4,5} d) {1,2,4,5}

Обоснование: Согласно определению « Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел , не превосходящих натурального числа а» П14, п.68,стр.259

69 Из перечисленных свойств множества натуральных чисел выделите свойство дискретности:

a) Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом.

b) Ни для одного натурального числа а нет такого натурального числа n, что а<n<а+1

c) Множество натуральных чисел – упорядоченное множество, т.к. отношение «меньше» для натуральных чисел транзитивно и антисимметрично

d) Множество натуральных чисел бесконечно

e) Любое непустое подмножество множества натуральных чисел содержит наименьшее число.

Обоснование: п.63, стр. 248, теорема 18

70 На множестве натуральных чисел алгебраической является операция:

Пересечение c) Вычитание e) Сложение

a) Деление d) Объединение

Обоснование: определение п.61

71 Если один из множителей увеличить в 5 раз, а второй уменьшить в 5 раз, то произведение

a) Увеличится в 5 раз

b) Не изменится

c) Уменьшится в 5

d) Увеличится в 25 раз

e) Уменьшится в 25

Обоснование: х- 1 множитель, у – 2 множитель, ху- произведение, тогда 5х*у:5=ху, следовательно, произведение не изменится.

72 Третья аксиома Пеано формулируется так:

a) Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости

b) Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.

c) Пусть множество М есть подмножество множества N и известно, что: единица содержится в М и из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М. Тогда множество М совпадает с множеством N.

d) Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а..

e) В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

Обоснование: Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента , за которым непосредственно следует а.

П.14, п.60 «Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа», стр. 233

73 Назовите в порядке выполнения преобразований свойства, которые используются при нахождении значения выражения 17·25+75·17=17·25+17·75=17·(25+75)=17·100=1700

a) коммутативное свойство умножения и дистрибутивность слева относительно сложения

b) коммутативное свойство сложения и дистрибутивность слева относительно сложения

c) ассоциативное свойство умножения и коммутативное свойство умножения

d) дистрибутивность справа относительно сложения и ассоциативное свойство умножения

e) дистрибутивность слева относительно сложения и коммутативное свойство умножения

Обоснование: Теоремы 9, 11 П14, п.62, стр.245

74 Законы умножения натуральных чисел в аксиоматической теории доказываются:

a) методом полной индукции

b) методом от противного

c) методом математической индукции

d) с использованием дедуктивного вывода

e) другой ответ

Обоснование: