Логарифмическая регрессия

Дата: 2025-06-02; Просмотры: 12

Оценка:

0.00 из 5.00 — оценок

Скачиваний: 0

Скачать

Логарифмическая регрессия имеет вид:

Делаем подстановку:

Таким образом, мы перейдём к линейной функции:

Для нахождения значений параметров а и b нужно прологарифмировать значения аргумента в исходной таблице и найти для новой таблицы приближающую функцию в виде линейной и найденные значения параметров подставить в

Таким образом, мы будем строить уравнение линейной регрессии для переменных и ( зависит от ).

1. Вставьте в книгу MS Excel новый лист и создайте на нём заготовки таблиц для вычислений (см. рисунок).

1. Прологарифмируем значения аргумента (значения признака Х), то есть получим значения . Установите курсор в ячейку С2 и введите формулу: =LN(A2). Скопируйте эту формулу вниз в диапазон ячеек С3:С26.
2. Найдём параметры а и b уравнения линейной регрессии . Получите эти параметры самостоятельно в ячейках I5:J5 с помощью функции ЛИНЕЙН ( ). Вы должны получить следующие результаты:

Вывод: уравнение логарифмической регрессии имеет вид -

1. Построим график логарифмической регрессии и график эмпирической функции в одной системе координат.

1. Вычислим теоретические значения прироста прибыли, используя полученное уравнение логарифмической регрессии (то есть будем подставлять имеющиеся значения Х в полученное уравнение регрессии). Установите курсор в ячейку D1 и введите формулу: =$J$5+$I$5*LN(A2). Скопируйте эту формулу в диапазон ячеек D2:D 26.
2. Выделите два несмежных диапазона А2:А26 и D2:D26 (для выделения несмежных диапазонов удерживайте нажатой клавишу Ctrl).
3. Вызовите пункт меню Вставка/Диаграмма. В открывшемся диалоговом окне выберите тип диаграммы – точечная. Нажмите кнопку Готово. Вы должны получить следующий график:

1. Скройте легенду.
2. Двойным щелчком на маркерах построенной диаграммы вызовите окно свойств. В этом окне в левой его части установите тип линии – обычная (вместо отсутствует).
3. Выделите диаграмму и в пункте меню Диаграмма выберите пункт Добавить данные.
4. В открывшемся диалоговом окне задайте диапазон В2:В26. Нажмите ОК.
5. Задайте для диаграммы заголовок и подписи осей.

1. Найдём среднюю ошибку аппроксимации уравнения линейной регрессии по формуле:

Средняя ошибка аппроксимации должна быть не больше 10% - 12%.

a. Установите курсор в ячейку Е2 и введите формулу: =ABS((B2-D2)/B2). Скопируйте эту формулу вниз в диапазон ячеек Е3:Е26.

b. Установите для ячейки J7 процентный формат и введите в эту ячейку формулу: (вычисляем среднюю ошибку аппроксимации по формуле).

c. Вы должны получить стандартную ошибку аппроксимации 2.90%, это означает, что использование линейной регрессии в данном случае допустимо.

А = 2,9% - использование логарифмической регрессии допустимо

1. Вычислим индекс корреляции по формуле:

1. В ячейке J9 найдите среднее значение результативного признака Y.
2. В ячейку F2 введите формулу: =(B2-$J$9)^2. Скопируйте эту формулу вниз в диапазон ячеек F3:F26 (находим величину ).
3. В ячейку G2 введите формулу: =(B2-D2)^2. Скопируйте эту формулу вниз в диапазон ячеек G3:G26 (находим величину ).
4. Подсчитайте в ячейках F27 и G27 сумму значений из соответствующих столбцов.
5. Рассчитаем индекс корреляции по формуле. В ячейку J10 введите формулу: =КОРЕНЬ(1-G27/F27). Вы должны получить индекс корреляции, равный 0,9952 (округлите результат до четырёх знаков после запятой).

Вывод: - между признаками присутствует тесная связь.

1. Оценим значимость параметров уравнения линейной регрессии с помощью F-критерия.

В этой формуле: n = 25 – объём совокупности, m = 1 – число параметров при переменных.

Табличное значение F-критерия определяется для заданного уровня значимости и степенях свободы k1 = m = 1 и k2 = n – m – 1 = 25 – 1 – 1=23.

1. Рассчитаем фактическое значение F-критерия по формуле. Установите курсор в ячейку J12 и введите формулу: =J10*J10*(J1-J2-1)/(J2*(1-J10*J10)).
2. Получим табличное значение F-критерия с помощью встроенной функции для уровня значимости и степеней свободы k1 = 1 и k2= n– m–1 =25–1–1=23. Установите курсор в ячейку J13 и вызовите пункт меню Вставка/Функция. Укажите категорию функций Статистические и выберите функцию FРАСПРОБР ( ). В открывшемся диалоговом окне укажите вероятность 0.05 (это уровень значимости ), Степень_свободы1 – ячейка J2, Степень_свободы2 – J1-J2-1.
3. Вы должны получить следующие результаты:

Вывод: - следовательно, гипотеза о случайной природе оцениваемых величин отвергается, и с вероятностью 95% можно утверждать, что параметры уравнения регрессии и индекс корреляции являются значимыми.

1. Спрогнозируем прирост прибыли предприятия, если затраты на модернизацию составят 100 тыс. руб.
1. В ячейку А27 введите значение 100.
2. Из ячейки D26 скопируйте формулу в ячейку D27. В результаты вы получите искомое ожидаемое значение прироста прибыли. Вы должны получить 60.44 тыс. руб.

Ожидаемый прирост прибыли при затратах на модернизацию производства в 100 тыс. руб. составляет 60.44 тыс. руб.

1. Найдём коэффициент эластичности. Он рассчитывается по формуле:

В нашем случае: . Отсюда: .

c. Сделайте заготовку таблицы (см. рисунок).

d. Введите в ячейку J15 формулу: =I5/J9. Вы должны получить результат Э = 0,71.

Вывод: при изменении значения признака Х (затрат на модернизацию) на 1% значение признака Y (прирост прибыли) в среднем изменится на 0,71%.

Общие выводы:

1. Между затратами на модернизацию производства существует тесная прямая связь, близкая к функциональной.
2. В данном случае допустимо использовать линейную, логарифмическую и квадратичную регрессию. Параметры этих видов регрессий и соответствующих им индексов корреляции в данном случае будут значимыми.
3. Наиболее удачным в данном случае будет использование логарифмической регрессии – для неё получена минимальная средняя ошибка аппроксимации.

Контрольные вопросы

1. Для чего используется корреляционно-регрессионный анализ?
2. Как определить вид уравнения регрессии, подходящий для изучаемых данных?
3. Что такое средняя ошибка аппроксимации? Какие у неё допустимые пределы?
4. Каким образом оценить тесноту связи между величинами?
5. Как определить значимость параметров уравнения регрессии и индекса корреляции?
6. Каким образом можно спрогнозировать значение результативного признака?

Самостоятельное задание

Для приведённых ниже данных:

• построить поле корреляции;
• выбрать подходящий вид регрессии (не линейной);
• построить уравнение линейной регрессии и уравнение регрессии выбранного вами вида;
• получить среднюю ошибку аппроксимации для каждого уравнения регрессии, сделать вывод о том, как из них в данном случае предпочтительнее;
• вычислить линейный коэффициент корреляции и индекс корреляции;
• оценить значимость параметров уравнений регрессии и показателей тесноты связи;
• для параметров уравнения линейной регрессии и линейного коэффициента корреляции определить доверительные интервалы;
• с помощью обоих видов регрессий спрогнозировать значение результативного признака , используя прогнозное значение факторного признака ;
• в случае линейной регрессии найти доверительный интервал для прогнозного значения результативного признака .

Данные для самостоятельной работы

K – последняя цифра номера зачетной книжки

Лабораторная работа №3