№3. Однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли и Риккати.
Однородные уравнения
Функция 
называется однородной функцией своих аргументов степени 
, если справедливо тождество 
.
Например, функция 
есть однородная функция второй степени, т.к. 
.
При 
имеем функцию нулевой степени. Например, 
есть однородная функция нулевой степени, так как
Дифференциальное уравнение вида 
называется однородным относительно x и y, если есть однородная функция своих аргументов нулевой степени. Однородное уравнение всегда можно представить в виде
Вводя новую искомую функцию 
, уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:
Если 
есть корень уравнения 
, то решение однородного уравнения будет или 
(прямая, проходящая через начало координат).
Замечание: при решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу сделать подстановку 
.
Уравнения, приводящиеся к однородным
А. Рассмотрим дифф. ур-е вида
Оно приводится к однородному с помощью переноса начала координат в точку пересечения прямых 
и 
. Если эти прямые не пересекаются, то 
; след-но, ур-е имеет вид 
и приводится к ур-ю с разделяющимися переменными заменой 
(или 
.
Б. Некоторые ур-я можно привести к однородным заменой 
. Число 
обычно заранее не известно. Чтобы его найти, надо в уравнении сделать замену . Требуя, чтобы ур-е было однородным, найдём число , если это возможно. Если же этого сделать нельзя, то ур-е не приводится к однородному этим способом.
Линейные уравнения первого порядка
Так называется ур-е, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
где 
и 
– заданные функции от 
, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (2).
Если 
то уравнение (2) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (2) ищется в виде
Где 
– новая неизвестная функция от .
Уравнение Бернулли
Имеет вид
где 
(при 
это уравнение является линейным).
С помощью замены переменной 
уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Уравнение Риккати
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
где 
– известные функции, называется уравнением Риккати. Если коэффициенты 
в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл
Уравнение Риккати в общем случае не интегрируется в квадратурах.
Свойства уравнения Риккати:
1. Если известно какое-нибудь частное решение 
уравнения Риккати то его общее решение может быть получено при помощи квадратур. Для этого нужно сделать замену 
, подставить в ур-е (3) и всё сведётся к частному случаю ур-я Бернулли.
2. Если известны два частных решения уравнения (3), то его общий интеграл находится одной квадратурой (например, для ур-я 
в левой части будут члены, подобные членам правой части, если взять 
Подставим и найдём 
).
Ссылки
Однородные ур-я и приводящиеся к однородным
Краснов/Киселев – стр. 26
Филиппов – стр. 17
Линейные ур-я первого порядка
Краснов/Киселев – стр. 32
Филиппов – стр. 20
Ур-е Бернулли
Краснов/Киселев – стр. 37
Филиппов – стр. 21
Ур-е Риккати
Краснов/Киселев – стр. 51
Филиппов – стр.22