№13. На рисунке . Докажите, что линия пересечения плоскостей AFC и BMC параллельна прямым AF и BM.

Дата: 2025-06-15; Просмотры: 1
Оценка:
0.00 из 5.00 — оценок
Скачиваний: 0

Доказательство. Так как , то AF║________, и, следовательно, AF║BMC по _______________________________________ _________________ . Плоскость AFC проходит через прямую AF, параллельную плоскости ________, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей _______________ параллельна прямой _______. А так как AF║BM, то по ___________________________________ ___________________________ прямая BM также параллельна _______________________________________________________ ____________________.

 

№14. Четырехугольник ABCD – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей, . Докажите, что:

а) ;

б) .

Доказательство. Четырехугольник ABCD – квадрат, поэтому ________. По условию , следовательно, ________ и ________

а) Рассмотрим плоскость AMC. Прямая BD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ________________ этой плоскости, следовательно по ____________________________ ________________________________________________ BD _______, а потому прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BD ______ и BD _____

б) Рассмотрим плоскость BMD. ___________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

 

№15. В тетраэдре MABC AB = AC, MB = MC. Докажите, что .

Доказательство. По условию треугольники BAC и BMC - _______________________ с общим ___________________________, поэтому их медианы AH и MH, проведенные к _____________ __________________, являются ________________________, т.е. ______ и _____________

Рассмотрим плоскость AMH. Так как ______, то по _________________________________________________ ______________ , а потому прямая BC перпендикулярна к любой _______________________________________________ _______, в частности _______

№16. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Докажите, что диагональ куба B 1 D перпендикулярна к диагонали AC его основания.

Доказательство. Так как грани AA 1 B 1 B и BB 1 C 1 C – квадраты, то . Следовательно, по ______________________________________________________. Рассмотрим плоскость . Поскольку , так как _______________________________, и , так как _______________________, то __________ по _____________________________________________________ __________________________, а потому _____________

 

6.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

№17. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника).

Решение. Рассмотрим два случая:

1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α;

2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α.

1) Пусть отрезок AB расположен по одну сторону от плоскости α (см.рис.a), см, см. Так как и , то ______, и поэтому четырехугольник A 1 ABB 1 - ____________. Проведем в ней среднюю линию PP 1, тогда PP 1║_______, PP 1║_______, и так как , то и PP 1 _______. Следовательно, длина отрезка PP 1 и есть искомое расстояние от середины отрезка AB до плоскости α, ____________________ = ____________________=________ см.

2) Пусть концы отрезка AB расположены по разные стороны от плоскости α (см.рис.б) и пусть AA 1 и BB1 – перпендикулярны к плоскости α, см, см. Так как и , то ______, и прямые AA 1 , BB 1 , A 1 B 1 лежат в одной ____________________. Проведем через точку P – середину отрезка AB – прямую, параллельную B1B. Тогда по _____ _____________________________________________ точки P1 и F пересечения этой прямой с прямыми A 1 B 1 и A 1 B будут серединами отрезков ________ и _________, а отрезки P 1 F и PF – средними _______________________________________________________________________. P1P = P1F - ________ = ____________________=________ см.

 

Ответ. _________ см или ________ см.

 

№18. Расстояние от точки M до каждой вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см (задача 143 учебника).

Решение. Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда расстояние от точки M до плоскости α равно ______. Так как , то ______, _____. =_______________=_______________ по _____________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ ___________________________________________________ ____ _________________________________, следовательно, OA = OB = OC, т.е. точка O равноудалена от ______________________________ ___________________ и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому AO = ________ = ____________________= ____________(см), и из прямоугольного треугольника AMO находим: MO = _______________ = _______________(см) = ______ см.

Ответ. ______ см.

 

№19. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный (задача 145 а учебника).

Доказательство. Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр _____ и наклонная ______. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции ______ наклонной ______ на эту плоскость, поэтому, согласно ______________________________________________________________, , т.е. треугольник CBD ____________________________________

 

№20. Дан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 основанием которого является ромб ABCD, а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ B 1 D параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания.

Доказательство. _______________________, диагональ AC лежит в плоскости ABC, , так как _________________________________________________ __________________________________. Следовательно, согласно теореме ___________________________, _________

 

 

7.Угол между прямой и плоскостью.

№21. Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB, которые образуют со своими проекциями на эту плоскость угол между наклонными равен 900.